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向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读

转自:https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832

向量是由n个实数组成的一个 n 行 1 列(n1)或一个 1 行 n 列(1n)的有序数组;

向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。

点乘

点乘公式

对于向量a和向量b:向量a 向量b

a和b的点积公式为:点乘公式

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:点乘夹角

推导过程如下,首先看一下向量组成:点乘图

叉乘

叉乘公式

两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量a和向量b:向量ab

a和b的叉乘公式为:叉乘公式

其中:基

叉乘几何意义

在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:叉乘图

在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。