矩阵的等价（只有秩相同），合同（秩和正负惯性指数相同），相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同）是矩阵亲密关系的一步步深化。
矩阵等价
若存在可逆矩阵 $P、Q$，使 $PAQ=B$，则 $A$ 与 $B$ 等价。所谓矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价，即 $A$ 经过初等变换可得到 $B$。秩是矩阵等价的不变量，两同型矩阵相似的本质是秩相似。
矩阵合同
$C^TAC=B$。原来是同一个向量双线性运算在不同坐标系下的过渡关系啊。换句话说，无论你怎么换坐标系，向量双线性运算的值只差一个合同矩阵。矩阵合同是说同一个向量双线性运算在不同坐标系下的表示。
我们经常要进行相似变换，来简化矩阵的计算，两个双线性型在进行相似变换前后算出的值不一样，多少会给我们带来麻烦。举个例子：我们知道在力学里面，力和位移的内积表示能量，我们换了一组基之后再计算新的力和新的位移的内积，得到了不同的能量，显然不符合能量守恒对吧！于是我们就想找出新旧坐标系下双线性型的关系。
矩阵相似
$P^-1AP=B$。针对方阵而言；本质是二者有相等的不变因子；可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；矩阵相似必等价，但等价不一定相似；
线性变换就是电影院中播放的电影，不同的基坐在不同的位置观看。同一部“电影”，不同基“看到”的就是不同的矩阵。两个矩阵相似。